Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}]$

Étape 1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique $p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{4})$

Étape 2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille $4$ est la matrice carrée $4 \times 4$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans $p (λ) = déterminant (A - λ I_{4})$ .

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Étape 3.1

Remplacez $A$ par $[\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] - λ I_{4})$

Étape 3.2

Remplacez $I_{4}$ par $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.4.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.5

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.5.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.5.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.7

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.7.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.7.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.8.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.9

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.9.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.9.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.10

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.10.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.10.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.11

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.12

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.12.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.12.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.13

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.13.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.13.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.14

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.14.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.14.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.15

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.15.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.15.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.16

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Étape 4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 + 0 & 0 + 0 & 6 + 0 \\ 0 + 0 & 2 - λ & 3 + 0 & - 7 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 6 - λ & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3

Simplify each element.

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Étape 4.3.1

Additionnez $- 4$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 + 0 & 6 + 0 \\ 0 + 0 & 2 - λ & 3 + 0 & - 7 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 6 - λ & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 & 6 + 0 \\ 0 + 0 & 2 - λ & 3 + 0 & - 7 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 6 - λ & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.3

Additionnez $6$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 & 6 \\ 0 + 0 & 2 - λ & 3 + 0 & - 7 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 6 - λ & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 - λ & 3 + 0 & - 7 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 6 - λ & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.5

Additionnez $3$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 - λ & 3 & - 7 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 6 - λ & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.6

Additionnez $- 7$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 6 - λ & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.7

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 0 + 0 & 6 - λ & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.8

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 - λ & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.9

Additionnez $8$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.10

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.11

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.12

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 5

Find the determinant.

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Étape 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

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Étape 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Étape 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(3 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.9

The minor for $a_{41}$ is the determinant with row $4$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \end{array} |$

Étape 5.1.10

Multiply element $a_{41}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \end{array} |$

Étape 5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (3 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \end{array} |$

Étape 5.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (3 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \end{array} |$

Étape 5.3

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (3 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \end{array} |$

Étape 5.4

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} - 4 & 0 & 6 \\ 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \end{array} |$ .

$p (λ) = (3 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 - λ & 3 & - 7 \\ 0 & 6 - λ & 8 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

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Étape 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 6 - λ & 8 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$

Étape 5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(2 - λ) | \begin{array}{c} 6 - λ & 8 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$

Étape 5.5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 7 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$

Étape 5.5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & - 7 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$

Étape 5.5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 7 \\ 6 - λ & 8 \end{array} |$

Étape 5.5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & - 7 \\ 6 - λ & 8 \end{array} |$

Étape 5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) | \begin{array}{c} 6 - λ & 8 \\ 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & - 7 \\ 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & - 7 \\ 6 - λ & 8 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 3 & - 7 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) | \begin{array}{c} 6 - λ & 8 \\ 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 3 & - 7 \\ 6 - λ & 8 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.3

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 3 & - 7 \\ 6 - λ & 8 \end{array} |$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) | \begin{array}{c} 6 - λ & 8 \\ 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 6 - λ & 8 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.5.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) ((6 - λ) (3 - λ) + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.4.2.1.1

Développez $(6 - λ) (3 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.5.4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (6 (3 - λ) - λ (3 - λ) + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (6 \cdot 3 + 6 (- λ) - λ (3 - λ) + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (6 \cdot 3 + 6 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.5.4.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.4.2.1.2.1.1

Multipliez $6$ par $3$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (18 + 6 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (18 - 6 λ - λ \cdot 3 - λ (- λ) + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.1.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (18 - 6 λ - 3 λ - λ (- λ) + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (18 - 6 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.1.5

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.4.2.1.2.1.5.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (18 - 6 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.1.5.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (18 - 6 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (18 - 6 λ - 3 λ + 1 λ^{2} + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.1.7

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (18 - 6 λ - 3 λ + λ^{2} + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.2

Soustrayez $3 λ$ de $- 6 λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (18 - 9 λ + λ^{2} + 0 \cdot 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.3

Multipliez $0$ par $8$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (18 - 9 λ + λ^{2} + 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.2

Additionnez $18 - 9 λ + λ^{2}$ et $0$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (18 - 9 λ + λ^{2}) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.3

Déplacez $18$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (- 9 λ + λ^{2} + 18) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.4

Remettez dans l’ordre $- 9 λ$ et $λ^{2}$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 18) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.5.5.1

Associez les termes opposés dans $(2 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 18) + 0 + 0$ .

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Étape 5.5.5.1.1

Additionnez $(2 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 18)$ et $0$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 18) + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.1.2

Additionnez $(2 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 18)$ et $0$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 18)) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.2

Développez $(2 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 18)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} + 2 (- 9 λ) + 2 \cdot 18 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 9 λ) - λ \cdot 18) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.5.3.1

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} - 18 λ + 2 \cdot 18 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 9 λ) - λ \cdot 18) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3.2

Multipliez $2$ par $18$ .

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} - 18 λ + 36 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 9 λ) - λ \cdot 18) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3.3

Multipliez $λ$ par $λ^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.5.3.3.1

Déplacez $λ^{2}$ .

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} - 18 λ + 36 - (λ^{2} λ) - λ (- 9 λ) - λ \cdot 18) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3.3.2

Multipliez $λ^{2}$ par $λ$ .

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Étape 5.5.5.3.3.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} - 18 λ + 36 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 9 λ) - λ \cdot 18) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} - 18 λ + 36 - λ^{2 + 1} - λ (- 9 λ) - λ \cdot 18) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} - 18 λ + 36 - λ^{3} - λ (- 9 λ) - λ \cdot 18) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} - 18 λ + 36 - λ^{3} - 1 \cdot - 9 λ \cdot λ - λ \cdot 18) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3.5

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.5.3.5.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} - 18 λ + 36 - λ^{3} - 1 \cdot - 9 (λ \cdot λ) - λ \cdot 18) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3.5.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} - 18 λ + 36 - λ^{3} - 1 \cdot - 9 λ^{2} - λ \cdot 18) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3.6

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} - 18 λ + 36 - λ^{3} + 9 λ^{2} - λ \cdot 18) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3.7

Multipliez $18$ par $- 1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (2 λ^{2} - 18 λ + 36 - λ^{3} + 9 λ^{2} - 18 λ) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.4

Additionnez $2 λ^{2}$ et $9 λ^{2}$ .

$p (λ) = (3 - λ) (11 λ^{2} - 18 λ + 36 - λ^{3} - 18 λ) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.5

Soustrayez $18 λ$ de $- 18 λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (11 λ^{2} - 36 λ + 36 - λ^{3}) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.6

Déplacez $36$ .

$p (λ) = (3 - λ) (11 λ^{2} - 36 λ - λ^{3} + 36) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.7

Déplacez $- 36 λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (11 λ^{2} - λ^{3} - 36 λ + 36) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.8

Remettez dans l’ordre $11 λ^{2}$ et $- λ^{3}$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- λ^{3} + 11 λ^{2} - 36 λ + 36) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.6.1

Associez les termes opposés dans $(3 - λ) (- λ^{3} + 11 λ^{2} - 36 λ + 36) + 0 + 0 + 0$ .

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Étape 5.6.1.1

Additionnez $(3 - λ) (- λ^{3} + 11 λ^{2} - 36 λ + 36)$ et $0$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- λ^{3} + 11 λ^{2} - 36 λ + 36) + 0 + 0$

Étape 5.6.1.2

Additionnez $(3 - λ) (- λ^{3} + 11 λ^{2} - 36 λ + 36)$ et $0$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- λ^{3} + 11 λ^{2} - 36 λ + 36) + 0$

Étape 5.6.1.3

Additionnez $(3 - λ) (- λ^{3} + 11 λ^{2} - 36 λ + 36)$ et $0$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- λ^{3} + 11 λ^{2} - 36 λ + 36)$

Étape 5.6.2

Développez $(3 - λ) (- λ^{3} + 11 λ^{2} - 36 λ + 36)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$p (λ) = 3 (- λ^{3}) + 3 (11 λ^{2}) + 3 (- 36 λ) + 3 \cdot 36 - λ (- λ^{3}) - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Étape 5.6.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.3.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 3 (11 λ^{2}) + 3 (- 36 λ) + 3 \cdot 36 - λ (- λ^{3}) - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Étape 5.6.3.2

Multipliez $11$ par $3$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} + 3 (- 36 λ) + 3 \cdot 36 - λ (- λ^{3}) - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Étape 5.6.3.3

Multipliez $- 36$ par $3$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 3 \cdot 36 - λ (- λ^{3}) - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Étape 5.6.3.4

Multipliez $3$ par $36$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 - λ (- λ^{3}) - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Étape 5.6.3.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Étape 5.6.3.6

Multipliez $λ$ par $λ^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.6.3.6.1

Déplacez $λ^{3}$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Étape 5.6.3.6.2

Multipliez $λ^{3}$ par $λ$ .

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Étape 5.6.3.6.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Étape 5.6.3.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Étape 5.6.3.6.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Étape 5.6.3.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + 1 λ^{4} - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Étape 5.6.3.8

Multipliez $λ^{4}$ par $1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - λ (11 λ^{2}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Étape 5.6.3.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 1 \cdot 11 λ \cdot λ^{2} - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Étape 5.6.3.10

Multipliez $λ$ par $λ^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.3.10.1

Déplacez $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 1 \cdot 11 (λ^{2} λ) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Étape 5.6.3.10.2

Multipliez $λ^{2}$ par $λ$ .

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Étape 5.6.3.10.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 1 \cdot 11 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Étape 5.6.3.10.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 1 \cdot 11 λ^{2 + 1} - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Étape 5.6.3.10.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 1 \cdot 11 λ^{3} - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Étape 5.6.3.11

Multipliez $- 1$ par $11$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 11 λ^{3} - λ (- 36 λ) - λ \cdot 36$

Étape 5.6.3.12

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 11 λ^{3} - 1 \cdot - 36 λ \cdot λ - λ \cdot 36$

Étape 5.6.3.13

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.6.3.13.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 11 λ^{3} - 1 \cdot - 36 (λ \cdot λ) - λ \cdot 36$

Étape 5.6.3.13.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 11 λ^{3} - 1 \cdot - 36 λ^{2} - λ \cdot 36$

Étape 5.6.3.14

Multipliez $- 1$ par $- 36$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 11 λ^{3} + 36 λ^{2} - λ \cdot 36$

Étape 5.6.3.15

Multipliez $36$ par $- 1$ .

$p (λ) = - 3 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 11 λ^{3} + 36 λ^{2} - 36 λ$

Étape 5.6.4

Soustrayez $11 λ^{3}$ de $- 3 λ^{3}$ .

$p (λ) = - 14 λ^{3} + 33 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} + 36 λ^{2} - 36 λ$

Étape 5.6.5

Additionnez $33 λ^{2}$ et $36 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 108 λ + 108 + λ^{4} - 36 λ$

Étape 5.6.6

Soustrayez $36 λ$ de $- 108 λ$ .

$p (λ) = - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 144 λ + 108 + λ^{4}$

Étape 5.6.7

Déplacez $108$ .

$p (λ) = - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 144 λ + λ^{4} + 108$

Étape 5.6.8

Déplacez $- 144 λ$ .

$p (λ) = - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} + λ^{4} - 144 λ + 108$

Étape 5.6.9

Déplacez $69 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 14 λ^{3} + λ^{4} + 69 λ^{2} - 144 λ + 108$

Étape 5.6.10

Remettez dans l’ordre $- 14 λ^{3}$ et $λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 144 λ + 108$

Étape 6

Définissez le polynôme caractéristique égal à $0$ pour déterminer les valeurs propres $λ$ .

$λ^{4} - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 144 λ + 108 = 0$

Étape 7

Résolvez $λ$ .

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Étape 7.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 7.1.1

Factorisez $λ^{4} - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 144 λ + 108$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 7.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 108, \pm 2, \pm 54, \pm 3, \pm 36, \pm 4, \pm 27, \pm 6, \pm 18, \pm 9, \pm 12$

$q = \pm 1$

Étape 7.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 108, \pm 2, \pm 54, \pm 3, \pm 36, \pm 4, \pm 27, \pm 6, \pm 18, \pm 9, \pm 12$

Étape 7.1.1.3

Remplacez $2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $2$ est une racine du polynôme.

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Étape 7.1.1.3.1

Remplacez $2$ dans le polynôme.

$2^{4} - 14 \cdot 2^{3} + 69 \cdot 2^{2} - 144 \cdot 2 + 108$

Étape 7.1.1.3.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$16 - 14 \cdot 2^{3} + 69 \cdot 2^{2} - 144 \cdot 2 + 108$

Étape 7.1.1.3.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$16 - 14 \cdot 8 + 69 \cdot 2^{2} - 144 \cdot 2 + 108$

Étape 7.1.1.3.4

Multipliez $- 14$ par $8$ .

$16 - 112 + 69 \cdot 2^{2} - 144 \cdot 2 + 108$

Étape 7.1.1.3.5

Soustrayez $112$ de $16$ .

$- 96 + 69 \cdot 2^{2} - 144 \cdot 2 + 108$

Étape 7.1.1.3.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 96 + 69 \cdot 4 - 144 \cdot 2 + 108$

Étape 7.1.1.3.7

Multipliez $69$ par $4$ .

$- 96 + 276 - 144 \cdot 2 + 108$

Étape 7.1.1.3.8

Additionnez $- 96$ et $276$ .

$180 - 144 \cdot 2 + 108$

Étape 7.1.1.3.9

Multipliez $- 144$ par $2$ .

$180 - 288 + 108$

Étape 7.1.1.3.10

Soustrayez $288$ de $180$ .

$- 108 + 108$

Étape 7.1.1.3.11

Additionnez $- 108$ et $108$ .

$0$

Étape 7.1.1.4

Comme $2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $λ - 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{λ^{4} - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 144 λ + 108}{λ - 2}$

Étape 7.1.1.5

Divisez $λ^{4} - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 144 λ + 108$ par $λ - 2$ .

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Étape 7.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

Étape 7.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $λ^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $λ$ .

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

Étape 7.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

Étape 7.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $λ^{4} - 2 λ^{3}$

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

Étape 7.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

Étape 7.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

Étape 7.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 12 λ^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $λ$ .

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

Étape 7.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

Étape 7.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 12 λ^{3} + 24 λ^{2}$

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

Étape 7.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

Étape 7.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$144 λ$

Étape 7.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $45 λ^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $λ$ .

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$144 λ$

Étape 7.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$144 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

Étape 7.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $45 λ^{2} - 90 λ$

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$144 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

Étape 7.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$144 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

$54 λ$

Étape 7.1.1.5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$144 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

$54 λ$

$108$

Étape 7.1.1.5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 54 λ$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $λ$ .

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$54$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$144 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

$54 λ$

$108$

Étape 7.1.1.5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$54$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$144 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

$54 λ$

$108$

$54 λ$

$108$

Étape 7.1.1.5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 54 λ + 108$

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$54$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$144 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

$54 λ$

$108$

$54 λ$

$108$

Étape 7.1.1.5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$54$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$144 λ$

$108$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$144 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

$54 λ$

$108$

$54 λ$

$108$

$0$

Étape 7.1.1.5.21

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$λ^{3} - 12 λ^{2} + 45 λ - 54$

Étape 7.1.1.6

Écrivez $λ^{4} - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 144 λ + 108$ comme un ensemble de facteurs.

$(λ - 2) (λ^{3} - 12 λ^{2} + 45 λ - 54) = 0$

Étape 7.1.2

Factorisez $λ^{3} - 12 λ^{2} + 45 λ - 54$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 7.1.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 54, \pm 2, \pm 27, \pm 3, \pm 18, \pm 6, \pm 9$

$q = \pm 1$

Étape 7.1.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 54, \pm 2, \pm 27, \pm 3, \pm 18, \pm 6, \pm 9$

Étape 7.1.2.3

Remplacez $3$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $3$ est une racine du polynôme.

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Étape 7.1.2.3.1

Remplacez $3$ dans le polynôme.

$3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 45 \cdot 3 - 54$

Étape 7.1.2.3.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 - 12 \cdot 3^{2} + 45 \cdot 3 - 54$

Étape 7.1.2.3.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$27 - 12 \cdot 9 + 45 \cdot 3 - 54$

Étape 7.1.2.3.4

Multipliez $- 12$ par $9$ .

$27 - 108 + 45 \cdot 3 - 54$

Étape 7.1.2.3.5

Soustrayez $108$ de $27$ .

$- 81 + 45 \cdot 3 - 54$

Étape 7.1.2.3.6

Multipliez $45$ par $3$ .

$- 81 + 135 - 54$

Étape 7.1.2.3.7

Additionnez $- 81$ et $135$ .

$54 - 54$

Étape 7.1.2.3.8

Soustrayez $54$ de $54$ .

$0$

Étape 7.1.2.4

Comme $3$ est une racine connue, divisez le polynôme par $λ - 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{λ^{3} - 12 λ^{2} + 45 λ - 54}{λ - 3}$

Étape 7.1.2.5

Divisez $λ^{3} - 12 λ^{2} + 45 λ - 54$ par $λ - 3$ .

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Étape 7.1.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$λ$

$3$

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$54$

Étape 7.1.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $λ^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $λ$ .

					$λ^{2}$
	$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$

Étape 7.1.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$

Étape 7.1.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $λ^{3} - 3 λ^{2}$

				$λ^{2}$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$

Étape 7.1.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$9 λ^{2}$

Étape 7.1.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$9 λ^{2}$	+	$45 λ$

Étape 7.1.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 9 λ^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $λ$ .

				$λ^{2}$	-	$9 λ$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$9 λ^{2}$	+	$45 λ$

Étape 7.1.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$λ^{2}$	-	$9 λ$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$9 λ^{2}$	+	$45 λ$
					-	$9 λ^{2}$	+	$27 λ$

Étape 7.1.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 9 λ^{2} + 27 λ$

				$λ^{2}$	-	$9 λ$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$9 λ^{2}$	+	$45 λ$
					+	$9 λ^{2}$	-	$27 λ$

Étape 7.1.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$λ^{2}$	-	$9 λ$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$9 λ^{2}$	+	$45 λ$
					+	$9 λ^{2}$	-	$27 λ$
							+	$18 λ$

Étape 7.1.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$λ^{2}$	-	$9 λ$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$9 λ^{2}$	+	$45 λ$
					+	$9 λ^{2}$	-	$27 λ$
							+	$18 λ$	-	$54$

Étape 7.1.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $18 λ$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $λ$ .

				$λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$18$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$9 λ^{2}$	+	$45 λ$
					+	$9 λ^{2}$	-	$27 λ$
							+	$18 λ$	-	$54$

Étape 7.1.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$18$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$9 λ^{2}$	+	$45 λ$
					+	$9 λ^{2}$	-	$27 λ$
							+	$18 λ$	-	$54$
							+	$18 λ$	-	$54$

Étape 7.1.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $18 λ - 54$

				$λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$18$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$9 λ^{2}$	+	$45 λ$
					+	$9 λ^{2}$	-	$27 λ$
							+	$18 λ$	-	$54$
							-	$18 λ$	+	$54$

Étape 7.1.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$18$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$54$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$9 λ^{2}$	+	$45 λ$
					+	$9 λ^{2}$	-	$27 λ$
							+	$18 λ$	-	$54$
							-	$18 λ$	+	$54$
										$0$

Étape 7.1.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$λ^{2} - 9 λ + 18$

Étape 7.1.2.6

Écrivez $λ^{3} - 12 λ^{2} + 45 λ - 54$ comme un ensemble de facteurs.

$(λ - 2) ((λ - 3) (λ^{2} - 9 λ + 18)) = 0$

Étape 7.1.3

Factorisez $λ^{2} - 9 λ + 18$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.1.3.1

Factorisez $λ^{2} - 9 λ + 18$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.1.3.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $18$ et dont la somme est $- 9$ .

$- 6, - 3$

Étape 7.1.3.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(λ - 2) ((λ - 3) ((λ - 6) (λ - 3))) = 0$

Étape 7.1.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(λ - 2) ((λ - 3) (λ - 6) (λ - 3)) = 0$

Étape 7.1.4

Associez les exposants.

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Étape 7.1.4.1

Associez les exposants.

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Étape 7.1.4.1.1

Élevez $λ - 3$ à la puissance $1$ .

$(λ - 2) ((λ - 3) (λ - 3) (λ - 6)) = 0$

Étape 7.1.4.1.2

Élevez $λ - 3$ à la puissance $1$ .

$(λ - 2) ((λ - 3) (λ - 3) (λ - 6)) = 0$

Étape 7.1.4.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(λ - 2) ({(λ - 3)}^{1 + 1} (λ - 6)) = 0$

Étape 7.1.4.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$(λ - 2) ({(λ - 3)}^{2} (λ - 6)) = 0$

Étape 7.1.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(λ - 2) {(λ - 3)}^{2} (λ - 6) = 0$

Étape 7.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$λ - 2 = 0$

${(λ - 3)}^{2} = 0$

$λ - 6 = 0$

Étape 7.3

Définissez $λ - 2$ égal à $0$ et résolvez $λ$ .

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Étape 7.3.1

Définissez $λ - 2$ égal à $0$ .

$λ - 2 = 0$

Étape 7.3.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$λ = 2$

Étape 7.4

Définissez ${(λ - 3)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $λ$ .

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Étape 7.4.1

Définissez ${(λ - 3)}^{2}$ égal à $0$ .

${(λ - 3)}^{2} = 0$

Étape 7.4.2

Résolvez ${(λ - 3)}^{2} = 0$ pour $λ$ .

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Étape 7.4.2.1

Définissez le $λ - 3$ égal à $0$ .

$λ - 3 = 0$

Étape 7.4.2.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$λ = 3$

Étape 7.5

Définissez $λ - 6$ égal à $0$ et résolvez $λ$ .

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Étape 7.5.1

Définissez $λ - 6$ égal à $0$ .

$λ - 6 = 0$

Étape 7.5.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$λ = 6$

Étape 7.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(λ - 2) {(λ - 3)}^{2} (λ - 6) = 0$ vraie.

$λ = 2, 3, 6$